MATHCAD
Разложение сигнала на гармоники
Сигнал прямоугольной формы
можно описать следующим аналитическим выражением . (1) Спектр такого сигнала s(t) с помощью
ряда Фурье в тригонометрической форме имеет следующий вид:
Коэффициенты разложения ряда
Фурье вычисляются по формулам:
где x(t) – периодический сигнал. Полученное аналитическое
выражение сигнала x(t) в среде MathCAD
будет иметь вид:
Для построения графика
сигнала x = f(t)
необходимо выбрать в главном меню программы MathCAD «Вид – Панели инструментов – График», далее на
появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов график», после чего на
рабочей области программы MathCAD появится область построения графика. По оси
ординат области построения графика необходимо ввести «x(t)», а по
оси абсцисс – «t». Далее двойным щелчком левой кнопки мыши по области
построения графика необходимо вызвать панель форматирования графика. На
закладке «Оси X – Y» панели форматирования для удобства отображения нужно
установить размер сетки, кратный по оси ординат амплитуде сигнала, а по оси
абсцисс – периоду сигнала. На закладке «Трассировки» нужно установить толщину
линий графика, для этого необходимо выделить мышью строку «trace1» в списке
линий и в поле «Вес» выбрать «3». Кроме того, для удобства можно установить
диапазон значений по оси абсцисс вводом соответствующих значений в области на
оси абсцисс графика. Поскольку параметры сигнала по оси абсцисс изменяются от 0
до T = 50, эти значения и следует ввести. В результате
получим график, изображённый на рисунке далее. Рис. График сигнала прямоугольной формы в среде MathCAD: A = 1, T = 50, τ = 25 Для записи разложения
сигнала в тригонометрический ряд Фурье потребуется вызвать панель «Calculus» или в главном меню выбрать «Вид – Панели
инструментов – Калькуляция». На этой панели есть элементы «Определённый
интеграл» и «Суммирование по дискретному элементу». Они необходимы для записи
ряда Фурье и его коэффициентов разложения. Полученное выражение для
спектрального показания сигнала в общем виде для заданного числа гармоник N = 3 запишем
следующим образом:
Чтобы добавить на график x = f(t) спектральную форму сигнала s = f(t), нужно выделить указателем мыши на оси ординат поле,
где записана функция исходного сигнала x(t) и справа от неё ввести запятую, после этого ниже
появится поле для ввода ещё одной функции, куда следует ввести s(t). Графики
сигнала прямоугольной формы и его спектральное показание по первым трём
гармоникам показаны на рисунке ниже. Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) Аналогично строят графики
для пяти и семи гармоник. Для этого в программе расчёта гармоник нужно лишь
присвоить числу гармоник N новое значение, а программа автоматически пересчитает
спектр сигнала. При этом автоматически обновится график зависимости s = f(t). Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) и его спектральное показание s(t) для числа
гармоник N = 5 Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) и его спектральное показание s(t) для числа
гармоник N = 7 |
||||||||||||||||||||||